解析延拓

按照解析函数的要求把定义在较小区域上的函数延拓到更大的区域上。

同一性定理(Identity Theorem):任何两个定义在复平面同一个区域上的解析函数，如果他们在这个区域上的无穷多个点上都相等，而且这些点中存在极限点,则这两个函数必然在整个区域上相等。

而这里无限个点中必须包含极限点才可以，比如sin(x)和2sin(x)在点集{,k是整数}取值都相等，但是由于这个无限点集没有极限点，所以可以存在两个不同的解析函数在这个点集上取值都相等。而如果这无限个点有解，那么由于有解无限点集必然包含极限点，那么也必然可以唯一确定一个解析函数。

根据这一定理，一个定义在较小区域上的解析函数，对于更大的区域，最多只存在一个解析函数在这个较小的区域上和它相等。这个定义在更大区域上的解析函数就叫做它的解析延拓。

对于一个具有解析表达式的解析函数，它的解析延拓的定义是明确的。在数值计算中，常常不能得到一个函数的解析表达式，而只能得到某些点上的值。这时，要利用这些已知的值去求未知函数的解析延拓在别的点的值就比较困难。在这方面的研究目前还没有出现很好的方法或结果。解析延拓的具体实施，非常困难。需要新观念的进入。

假定函数与分别在区域与中解析，与有一公共部分，在其上成立，于是将与在及内的全体点上的数值集合看成一个解析函数，则在中解析，在中，而在中。

函数可以看成由拓展的定义区域所得，故称它为的解析延拓。当然，根据同样理由，是的解析延拓，这种拓展原给函数定义的方法称为解析延拓。

欲使这个方法有意义，必须在适当条件下由它只能得出唯一的结果，以后我们将要证明它确实如此，在给出它的证明以前，先提一下，如果对单元实函数定义类似的方法，将会遇到怎样的困难。

设在中，人们自然会建议用此公式将的定义拓展到其他上。但困难在于两个不同的公式可能在某一区间中表同一函数，而在另一区间中却表不同的函数，并且也没有明显的理由来决定究竟哪个公式才为“正当”。例如在中，上面的函数也可以可以级数表示；但若以此级数的和定义函数，我们看到，它在区间中的值等于。

这个级数并不一致收敛，但即使对一致收敛级数，同样的事情也会发生，例如级数在包含的区间中一致收敛；倘若利用它把级数的和从正延拓到负，便得到并非希望的结果，即的延拓为。

延拓的标准方法就是幂级数方法，假定我们从级数出发，它在圆中收敛。在圆中任取一个不同于a的点b，算出与各阶导数的数值，就得到函数关于乘幂的展开式。这个级数在任何以b为圆心并且完全落在原来圆内的圆中都一定收敛，它也可能在一个更大的圆中收敛，从而提供了函数的一个解析延拓，因此整个函数就可通过幂级数而构成。每一幂级数，或者与它等价的每组数值称为函数的元素。

下面的定理说明了以这种特殊方法作为标准方法的理由，用任何延拓方法得到的函数值也能通过幂级数方法得到。

命C为一连接点与的围道，沿着这条围道，我们已经用某种方法延拓了，即我们有一列公式，这些公式在区域列中定义了，而具有次之性质：(i)C的每一点都是一个或多个Dn的内点；(ii)相继的互相交叠，而在公共部分上，的不同定义有相同的值。

我们要用幂级数方法实现此同一过程，即要在C上找一列点使在列中每一点上的收敛圆都包含下一点，并且用幂级数方法所得的值与用其他方法得到的相同。又用此方法，经过有限多步一定能够达到b。

对于C上每一点z，都有一正收敛半径与之结合，并且是z的连续函数，若为相邻二点，并以与表相应的收敛半径，因为与相反的就是所以无论如何，(2)恒成立。将(1)与(2)联在一起，就证明了当时有，这就是需要的结果。

因为连续，所以它一定能取得下确界；又因它恒正，所以它的下确界一定是正数，设此下确界为。

我们从上的幂级数出发，命为沿围道与a距离等于的地点它落在a点处的收敛圆内，故能将函数展成的幂级数，新的收敛半径至少为，所以又能达到沿曲线与a距离的点，照此方法继续进行，很明显地，经过有限次后一定能到达b。至于用这方法得到的b上的数值与用其他方法得到的相等的事实可由一般的唯一性定理推出。