量纲分析

自然科学中一种重要的研究方法。

概述?　各种物理量之间存在着关系，说明它们的结构必然由若干统一的基础成分所组成，并按各成分的多寡形成量与量间的千差万别，正如世间万物仅由百余种化学元素所构成。物理量的这种基本构成成分统称为量纲。由于物理学研究物质在时空中的演化和运动，所以一切定量问题最终离不开质量、时间和长度这三种基本量。因而最适宜于选取M、T、L做为这三种基本量的量纲。一切其他导出量的量纲可按定义或客观规律表成这三种基本量的量纲组合。基本量有多种取法，在力学中通常取质量、长度和时间为基本量，其他量（例如速度、力等）可按一定规则由基本量导出。任何其他三类量纲互相独立的导出量也可作为基本量。性质上完全不同的两种物理量可具有相同的量纲，例如功和力矩就是如此。任何正确反映物理现象规律的方程，其两端各项都必须具有相同的量纲。

物理量的大小，除按个数计的外，通常由一个或几个实数连同所采用的单位表示。这种数一般称为“名数”，意为不标明单位名称就没有意义的数。名数的实数值可以随不同的对象处于不同的时间或空间而不同。这是由于对象不同或本身发生变动而引起的实质变化。但名数值还会随所采用的单位大小而改变，而且是单位大小的连续函数。因为单位的大小可以任选，所以名数值的上述改变不是客观的实质变化。实质变化的规律是学科本身的研究对象。研究得出的各种各样的物理定律被表成数学方程的形式，控制着有关量本身的消长。非实质变化则不牵涉实质客观过程，只反映单位的主观选择。客观规律当然不涉及依赖于主观，这就要求数值的非实质变化必须保证事物客观大小的绝对性。具体说，任何两个一定大小的同类量，不论测量的单位如何，它们的相对大小永远不变，即它们的比值对任何单位都必须是个定值。同类量相对大小对于单位的不变性是度量的根本原则。违反这一原则，量度将没有任何意义。根据这个原则，可以导出以下的重要结论：在确定的单位制中，所有物理量的量纲都具有基本量量纲的幂次积形式（证明从略）,即它们的形式可写成αabc,其中α、、为基本量的量纲；幂次a、b、c为常数，但不一定是整数。

常用力学量的 MLT量纲式见表。角度的量纲式指数全为零，所以属于无量纲数，它是单位尺度变换下的不变量。

完整性与齐次性?　实际现象总是同时参有许多物理量。它们间通过理论与实验建立起一定的依存关系，构成某一客观规律的数学算式。显然，这种数量关系必须有具体内容，列成算式时要首先考虑运算的含义。物理中只有同类量或它们的同样组合才能进行加减。另外，在建立算式时要采用统一单位制的观点，否则将无法按名数的大小来进行比较。当然，单位总可以通过换算给予统一，因而不构成任何限制。其次，所建立反映客观实际规律的关系式，必须在单位尺度的主观任意变换下不受破坏。关系式的这一性质称为“完整性”。

表现数量关系的最一般形式是多项式。保证多项式的完整性有两种办法：一是要求出现在算式中的一切参量都是无量纲纯数，二是要求式中所有各项具有完全相同的量纲，也就是每一项的每一基本量纲都有相同的幂次，即所谓量纲的齐次性。算式中各项都是有关名数的幂次积，它们可分为量数和量纲两部分。既然量纲齐次，等式两边的量纲因子就可以相消，只剩下纯粹由量数构成的关系方程，也就是无量纲化了。总之，量纲齐次是构成完整性的充分和必要条件。

应该指出，任何两个量纲齐次的算式，假如硬性相加成为新的多项式，它虽然仍具有完整性，但可能变为非量纲齐次。这是因为两个算式分别表示不同类量间的关系。自由落体公式（h为落距，g为重力加速度，t为时间）是量纲齐次式。如果将此式用于特定单位（例如长度和时间单位只允许用英尺和秒）,则变成h=16t2,从而失去完整性。任何算式应用于具体实例都是如此，所以无需看作是量纲齐次的破坏。

π 定理?　所有完整的关系式都可以无量纲化。假定某一物理现象中有关参量x、x1、…xk、…、xn之间存在着如下的完整关系：

如果式中n个参量中有k个量x1、x2、…、xk是量纲独立的，则通过单位尺度的变换，就可将上述关系式化为无量纲方程：

式中π1、π2、…、πn-k是由x1、…、xn中k个量纲独立的参量所组成的无量纲参数。所谓量纲独立指其中任何一个量的量纲式不能由其余量的量纲式的幂次积所组成。例如MLT体系中长度【L】、速度【LT-1】和能量【ML2T-2】三者是独立的，而长度【L】、速度【LT-1】和加速度【LT-2】三者间则非独立的。三个基本量的体系一般也只具有不多于三个的量纲独立量。一般方程式通过对原来n个参量的无量纲化，一定可得到n-k个独立无量纲参数π1，…,πn-k的函数关系式（证明从略）。这就是所谓的π定理。

量纲分析的重大作用在于通过 π定理减少了问题中参量的个数，这对实验安排具有难以估量的重要性。下面举一个π定理简单应用的实例：试问在怎样的条件下，管流才会从层流过渡为湍流？根据一般观察，大致可以认为这一转变跟管径d、平均流速v、流体密度 ρ和动力粘性系数μ有关。即假定转变将出现在以上四个参量满足某一关系式

嗞(ρ，μ，d，v)＝0

的时刻。现根据π定理采用其中三个量纲独立的量ρ、μ、d做为基本量，按前述步骤进行无量纲化，上式即变为：

嗞(1，1，1，π1)＝0，

式中1/π1＝ρvd/μ＝Re,称为临界雷诺数,故有嗞(Re)=0。这是一个一元代数方程，解出方程的根，就得到：

Re＝常数。

上式表明，管流流动状态的转变将发生在固定的临界雷诺数情况下。因此，只需一次测出某一圆管流动出现转变时的ρ、μ、d、v以确定临界雷诺数, 就可以做为任何圆管流动出现转变的判断准则。实验证实了这一结论，临界雷诺数约在2000～2500之间。

参考书目

钱学森著：现代科学的结构──再论科学技术体系学，《哲学研究》，3月，1982。