自由向量

在物理学中讲到的力、速度等都是向量，为了研究这一类向量及其运算性质，数学上将这一类向量进一步抽象为

自由向量

：只考虑具有大小和方向的量，而不考虑别的因素，并用带箭头的线段表示向量，线段的长度表示

向量的大小

，箭头的指向为

向量的正向

。如图1所示的向量便记为，也记为，因为是自由向量，故向量的起点可以在空间的任何位置，只要大小相等，方向一致就表示同一个向量。

图1

在自由向量的意义下，如图2，如果向量 与 大小相等，互相平行且指向一致，就说它们

相等

，记为。

两平行向量 与，可以平移至同一条与它们平行的直线上，故称此二向量 与 共线，也称向量 与线性相关，否则，即 不平行于 时，称与

线性无关

。

向量 的大小也叫 的

长度

、

模

或

范数

，记为，它是个非负实数，当时，称 为零向量，记为

0

，用带箭头的线段表示向量(如 )时，意味着起点A与终点B相重合，即

零向量

是一个

点向量

，而当A与B重合时，向量的方向便无意义，所以零向量是唯一的一个方向无意义的向量，这样，我们又可以说

零向量与任意的向量共线

，或说

零向量与任意的向量线性相关

。

当我们引入向量的概念后，要注意区别数量与向量。

图2

向量的加法、减法以及向量与数的乘法都称为向量的

线性运算

。

向量的加法与减法

设有两向量与

b

，如果把

b

的起点平移至的终点，那么由的起点到

b

的终点的向量称为向量与

b

的和，记为，通常称为向量相加的

三角形法则

，如图3所示。

图3

将两个不平行向量，

b

的起点平移至同一点，以与

b

为邻边作平行四边形，则从起点到平行四边形的对角顶点的向量就是向量与

b

的和.通常称为向量相加的

平行四边形法则

，如图4所示。

图4

图5

向量的加法满足交换律与结合律，如图4、图5所示。

多个向量相加，可以将前一向量的终点作为次一向量的起点，依次作出各向量，最后以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点作一向量，该向量即为所求的和，如图6所示，有

图6

设有两个向量与

b

，若有另一个向量，它与相加后等于

b

，则这个向量称为向量

b

与的差，记为，如图7所示。

图7

这样，对于每一个向量，有

0

与的差；是与大小相等而方向相反的一个向量，记为，称为的负向量，这样，就有

任给向量及点O，显然有不难根据三角形两边之和大于第三边的原理，得出向量与数的乘法

一个向量与数的乘积，记为或，该向量的模等于，即，它的方向当时与相同，当时与相反，同时，。

不难证明，向量与数的乘法满足下列运算规律：

(1)结合律；

(2)分配律。

其中都是实常数。

特别地，当时，有设表示与非零向量同方向的单位向量，则根据向量与数的乘法，显然有这表明一个非零向量与它的模的比值是一个与原向量同方向的单位向量。