一维无限深势阱

如果粒子受某种作用的限制，因而在空间某区域内发现该粒子的概率远大于其他区域，则此区域常可看做一个势阱（例：电子在金属固体中运动；质子、中子被束缚在原子核中。）。为简化问题的讨论，往往假定粒子在外力场中的势函数为

该理想化模型称作一维无限深势阱。

在金属中的自由电子不会自发地逃出金属，它们在各晶格结点（正离子）形成的“周期场”中运动。进一步简化这个模型，可以粗略地认为粒子被“无限高”的势能壁束缚在金属之中，由此而抽象出粒子在无限深势阱中运动。为简单起见，设势阱是一维的，这是量子力学中最简单的例子。自由电子在一块金属中的运动相当于在势阱中的运动。在阱内，由于势能为零，粒子受到的总的力为零，其运动是自由的。在边界上或处，由于势能突然增加到无限大，粒子受到无限大指向阱内的力。因此，粒子的位置不可能到达的范围以外。

设粒子有效质量为，粒子运动的波函数为。

在阱内（），体系的定态薛定谔方程为①

在阱外（，体系的定态薛定谔方程为②

由于阱外，阱外波函数。

由波函数的统计诠释可知，在和两点波函数连续，因此要求阱内波函数满足③

①式中，令，方程的解具有以下形式④

将③代入④，得，。由于，波函数无意义，因此，解出，将该结果代入④以及，可得出粒子能级以及波函数。

将波函数归一化， ，因此，波函数