勒让德

在数学中，勒让德函数和相关的勒让德函数 是勒让德多项式与非整数度的泛化。

相关的勒让德函数是勒让德方程的解

其中复数λ和μ分别称为相关的勒让德函数的度数和顺序。勒让德多项式是阶数的勒让德函数。

这是一个具有三个常规奇异点的二阶线性方程。像所有这样的等式，它可以通过变量的变化被转换为超几何微分方程，并且其解可以用超几何函数来表示。

这些功能实际上可以用于一般复杂参数和参数：

分母中包含伽马函数，是超几何函数。

二阶微分方程具有第二个解，其定义为。

勒让德P和Q函数之间有用的关系是Whipple的公式。

勒让德函数可以写成轮廓积分。例如，

其中轮廓沿正方向绕着点1和z旋转，并且不绕-1。对于真正的x，我们有

的真实积分表示在其中 是的双陪集空间（见区域球面 功能）。实际上，上的傅里叶变换由

其中，

勒让德多项式是下列勒让德微分方程的多项式解：

其中n 为正整数。

生成函数

勒让德多项式的生产函数为

前几个勒让德多项式：

正交关系

勒让德多项式在取决满足如下的正交关系式：其中F为超几何函数，v非整数。如v为整数，则解为勒让德多项式

第一类勒让德函数2D图

第一类勒让德函数3D图

第二类勒让德函数2D图

第二类勒让德函数3D 图